Selon la relativité générale, l'attraction gravitationnelle que l'on observe entre les masses est provoquée par une déformation de l'espace et du temps par ces masses. La position de n'importe quel point peut être décrite par deux coordonnées : la latitude et la longitude géographiques. De façon semblable, Einstein a prédit la déflexion de la lumière par un champ gravitationnel : dans un champ gravitationnel, la lumière est défléchie vers le bas. La m�trique est un tenseur d�ordre 2. En 1905 Einstein met à jour deux dualités : « l’espace-temps » et la masse« -énergie ». On pense que cette forte gravitation est responsable des rayonnements intenses émis par certains objets astronomiques (noyaux actifs de galaxies ou microquasars). L'expérience de ce genre de forces fictives est quotidienne comme la force enfonçant dans son siège le chauffeur d'une voiture qui accélère. Comme il a déjà été dit à la section précédente, le contenu en matière de l'espace-temps définit une autre quantité, le tenseur d'énergie-impulsion, T. Le principe selon lequel l'espace-temps régit le mouvement de la matière et la matière régit la courbure de l'espace implique que ces quantités doivent être liées entre elle. La relativité générale est une théorie de la gravitation qui a été développée par Albert Einstein entre 1907 et 1915. Si l�on respecte la convention d�Einstein, cela donne : Or, dans un espace courbe, la norme d�un vecteur n�est pas �gale au produit scalaire de ce vecteur par lui-m�me. L'équivalence entre les effets de gravitation et d'inertie ne constitue pas une théorie de la gravitation complète. En relativité générale, la métrique de l'espace-temps et le tenseur de courbure de Riemann sont des quantités définies en chaque point de l'espace-temps. Ce genre de variation de force est responsable, dans le cadre de la loi de Newton, des marées sur les océans terrestres, d'où l'utilisation de l'expression effet de « marée » pour ce phénomène. Ainsi, plus les observateurs sont en bas du champ gravitationnel, plus leur temps s'écoule lentement. Dans la formulation mathématique de la théorie, toutes ces quantités ne sont que divers aspects d'une quantité physique plus générale appelée tenseur énergie-impulsion[21]. Inversement, de la lumière émise du haut arrivera à une fréquence supérieure à celle d'émission à l'observateur du bas. 4 Dans cette théorie, la matière (les étoiles...) courbe l'espace-temps par sa présence. Ces objets peuvent donc être considérés comme des particules test, et ils ont le même comportement par rapport à la gravitation. Dans une petite région comme une cabine, cette accélération est minuscule, tandis que pour des personnes tombant en chute libre en des points opposés de la Terre, l'effet est très grand. la théorie de la relativité n'est pas née de rien, albert einstein ne s'est jamais réveillé en disant: «arrêtez tout, la vitesse de la lumière est une constante indépassable, et le temps est relatif»! c Les vecteurs peuvent en effet prendre deux formes : la forme covariante ou la forme contravariante. Seule la théorie d'Einstein se montra compatible avec les expériences et les observations. Un ensemble d'autres tests ont mis à l'épreuve la validité de diverses versions du principe d'équivalence ; à strictement parler, toutes les mesures de la dilatation du temps gravitationnelle sont des tests de sa version faible, et non pas de la relativité générale elle-même. Comme c est très grand, on se limite dans la vie courante à considérer que les variations de m sont négligeables, et que seules comptent celles de E. Et ceci est vrai dans toute la mécanique pré-relativiste[20]. La relativité générale est devenue un outil essentiel de l'astrophysique moderne. c'est-à-dire qu'à une constante multiplicative près, la quantité G (qui décrit certains aspects de la courbure de l'espace-temps) est égale à la quantité T (qui décrit certains aspects du contenu en matière). = … en relativité restreinte, on peut écrire . Un tenseur est une application multilin�aire d�un espace vers le corps des r�els . En effet : �tant le symbole de Kronecker. Elles fournissent en langage mathématique une formulation précise de la relation qui existe entre la géométrie de l'espace-temps et les propriétés de la matière. Cependant, il a déjà réussi à faire des prédictions originales, et vérifiables, basées sur son point de départ : le principe d'équivalence[5]. Supposons �galement que l�on puisse exprimer en fonction des coordonn�es d�origine : La formule qui permet de passer de la m�trique initiale � la nouvelle m�trique s��crit : La d�monstration de cette formule ne pr�sente pas de difficult� si l�on explicite la longueur d�un segment �l�mentaire dans la nouvelle et l�ancienne base et si l�on �crit : La d�riv�e covariante permet de s�affranchir des effets de la courbure pour d�terminer l��volution intrins�que d�un vecteur tangent � une g�od�sique (notion de transport parall�le, voir plus haut dans ce chapitre). Ce sont des paires d'étoiles qui orbitent autour du centre de masse commun, et ce faisant, perdent graduellement leur énergie en émettant des ondes gravitationnelles. La solution retard ee de (9.20) s’ ecrit alors sous la forme classique h (x;t) = 4G c4. 2.La Relativité Générale >> Livre l'ouvrage d'Albert Einstein (anglais) La Relativité Restreinte. Plusieurs propriétés font des trous noirs les sources les plus prometteuses d'ondes gravitationnelles. En effet, la distribution de matière peut faire apparaître l'objet lointain en plusieurs directions, avec éventuellement des intensités différentes. Soit un espace de dimension n dans laquelle a �t� d�finie une base de vecteurs . Ceci montre qu'il y a une constante cosmologique de signe répulsif, que l'on peut aussi interpréter en termes d'énergie noire aux propriétés très spéciales, et qui emplit tout l'espace[50]. Les exemples les plus connus sont les singularités présentes dans la description des trous noirs et du Big Bang[52]. Mais il y a des différences cruciales entre elles et les lignes d'univers droites de la relativité restreinte. Alors que le principe d'équivalence fait encore partie des exposés modernes sur la relativité générale, il y a des nuances entre la version moderne et le concept original d'Einstein, cf. Comme la lumière est défléchie dans un champ de gravitation, il est possible que la lumière d'un objet distant atteigne l'observateur par deux ou plusieurs chemins. → = …, en physique classique, ou . C'est le fondement de la compréhension actuelle des trous noirs, qui sont des régions où l'attraction gravitationnelle devient tellement intense que la lumière elle-même ne peut s'en échapper, sa vitesse étant inférieure à la vitesse de libération. Au-delà des problèmes posés par les effets quantiques et les singularités cosmologiques, la recherche en relativité générale est remplie de possibilités d'explorations supplémentaires : les mathématiciens de la relativité explorent la nature des singularités et la nature exacte des équations d'Einstein[54], et des simulations d'espace-temps spécifiques sont effectuées sur ordinateur (comme celles de trous noirs tombant l'un sur l'autre)[55], et les avancées permises par l'observation directe d'ondes gravitationnelles se poursuivent[56]. Cependant, avec l'amélioration de la précision des mesures expérimentales, on observa quelques discordances avec les prédictions de la théorie de Newton. Une personne assise sur une chaise a tendance à suivre une géodésique, c'est-à-dire à tomber en chute libre vers le centre de la Terre. Soit un tenseur d�ordre 2 : Il en va de m�me pour les vecteurs : voir l��quation (a-4) plus haut. C’est la formule de Planck, qui est à la base de la Mécanique Quantique. Ce type de convergence est bien connu quand il fait intervenir la déviation par une lentille optique, et par suite l'effet gravitationnel est appelé lentille gravitationnelle[36]. Einstein a fait l'hypothèse que des expériences semblables avec des observateurs en chute libre ou inertiels en relativité restreinte représentent une propriété fondamentale de la gravitation. Évidemment, ces chemins ne sont pas droits, puisque ce sont des arcs de cercle tracés sur la sphère. Laspect le plus important de cette théorie est la disparition du concept de force de gravitation. Soit la fonction s d�finie comme suit : �tant la d�riv�e de par rapport au param�tre . L'équivalence entre inertie et gravitation ne peut expliquer les effets de marée – elle ne peut pas expliquer les variations de champ gravitationnel[10]. Citons encore la force qui empêche une toupie lancée assez vite de tomber, bien qu'elle repose sur sa pointe, ou la force qui éjecte l'eau du linge dans un lave-linge pendant l'essorage. On r�sout ce probl�me en appliquant le th�or�me d�Euler-Lagrange. Plus de 100 ans après la publication de la théorie, la recherche est toujours plus active[57]. Dans la théorie d'Einstein, et ses parentes, la courbure en chaque point de l'espace-temps est régie par la présence de matière. Mais en fait l'itinéraire le plus court (arc de grand cercle) joignant les extrémités de cet arc de parallèle ne fait que 2 172 km, car un parallèle n'est pas une géodésique. Relativité Générale: Commission Cosmologie de la Société Astronomique de France, Avril 2002 . Il n�est en effet possible de conserver le formalisme de l��quation (a-2) que si l�on �crit : Il y a donc correspondance entre forme covariante et forme contravariante d�un m�me vecteur mais ces deux formes ne sont pas interchangeables. Ces observateurs sont tous des observateurs privilégiés Comme les différences entre les prédictions des théories d'Einstein et de Newton sont les plus marquées quand la gravitation est forte, les physiciens se sont intéressés depuis longtemps aux tests de divers effets relativistes dans des environnements où règne une forte gravitation. Luc Blanchet. Il faut souligner qu'aucun des deux observateurs ne peut observer de changement dans l'écoulement du temps autour de lui, ou pour des objets qui sont près de lui, ou qui se déplacent lentement par rapport à lui : le temps nécessaire pour cuire un œuf à la coque est toujours de trois minutes. Il en a fait la pierre angulaire de sa théorie de la relativité générale, qu'il a formalisée dans le principe d'équivalence. Pour y arriver, on a besoin d'une théorie qui décrit comment la matière (comme une grosse masse comme la Terre) affecte l'environnement inertiel autour d'elle. Mais d'une part on s'aperçut que l'univers n'était pas statique, mais en dilatation et d'autre part que l'artifice ne résolvait pas le problème : des concentrations locales de matière ne pouvaient que s'accentuer. T ; Lorsqu’un même indice intervient en haut et en bas dans une formule, cela signifie que l’on procède à une sommation sur cet indice. La Relativité Générale est une théorie géométrique : la gravitation y est décrite comme une déformation de l’espace-temps produite par les masses. De plus, il existe des théorèmes sur les singularités de Stephen Hawking et de Roger Penrose, qui expriment la nécessité de ce type de singularité dans un univers soumis aux lois de la relativité générale, en l'absence de toute modification quantique. En été 1912, inspiré par cette analogie, Einstein a recherché une formulation géométrique de la gravitation[11]. La recherche d'une version quantique de la relativité générale aborde l'une des questions ouvertes les plus fondamentales de la physique. La relation linéaire la plus générale possible, … En supposant que la Terre soit une sphère parfaite, une géodésique serait alors un arc de grand cercle, comme un méridien ou l'équateur. D'autres tests de la relativité générale comprennent des mesures de précision de l'effet Shapiro, ou retard gravitationnel de la lumière, la dernière mesure ayant été faite avec la sonde spatiale Cassini-Huygens. On aboutit � cette formule en recherchant la d�riv�e covariante des vecteurs unitaires de la base : par d�finition ils sont transport�s parall�lement � eux-m�mes. (« inertiels ») qu'Einstein a décrits – en l'absence de toute gravitation – dans sa théorie de la relativité restreinte : des observateurs pour lesquels la lumière parcourt des lignes droites à vitesse constante[2]. Pour terminer cette section, nous observons que le produit scalaire de deux quadrivitesses a une in-. Toutes les autres quantités intéressantes pour la géométrie, comme la longueur d'une courbe, ou la valeur des angles, peuvent être calculées à partir de cette métrique[22]. Supposons que sur ce vaisseau, il y ait deux observateurs placés l'un plus haut que l'autre. Dans un tel système, une des étoiles est un pulsar. La relativité générale, la célèbre théorie d’Albert Einstein, a 100 ans cette semaine. Les équations de géodésique - Les mathématiques de la relativité générale se réfèrent à différentes structures et techniques mathématiques utilisées par la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein. Ici aussi, la masse est une propriété-clé pour déterminer cette influence de la matière sur la géométrie de l'espace-temps, et par là sur la gravitation. a été publiée en 1905 par Albert Einstein, et la légende veut qu’il l’ait imaginée entièrement seul. Dans la description de la gravitation par Newton, il existe une attraction gravitationnelle provoquée par la matière. Cette description, à son tour, avait été étendue à des espaces à plusieurs dimensions dans un formalisme présenté par Bernhard Riemann dans les années 1850. En l'absence de gravitation, et bien sûr d'autres forces, une particule test se déplace en ligne droite à vitesse constante. Notons au passage que : si les vecteurs sont les vecteurs unitaires de la base de l�espace . Les trajectoires de corps en mouvement sont des lignes dans l'espace-temps, appelées lignes d'univers ; les trajectoires de corps se déplaçant à vitesse constante sans changer de direction y correspondent à des lignes droites[12]. En développant ses idées sur les conséquences du principe déquivalence, Einstein aboutit à une nouvelle vision de la gravitation qui devait remplacer celle dIsaac Newton : la relativité générale. 7 Un peu d’histoire. Elle devait être testée par le satellite Gravity Probe B lancé en 2004, avec des résultats fin 2008[32] ; en raison de difficultés techniques, ce n'est qu'en 2011 que la NASA a annoncé la confirmation de l'effet avec les valeurs annoncées par la théorie. Beaucoup de ces prédictions ont été confirmées par l'expérience, tandis que d'autres sont encore le sujet de recherches. Attention : la forme covariante et la forme contravariante d�un vecteur ne sont interchangeables. la théorie de la relativité prend ses racines dans la physique du ième siècle. Bien sûr, la solution la plus simple est l'espace de Minkowski, sans courbure, décrit par la relativité restreinte. Les modèles fondés sur la relativité générale jouent un rôle important en astrophysique où les masses mises en jeu peuvent être très importantes, et le succès de ces modèles apporte un nouveau témoignage quant à la validité de la théorie. Un observateur dans un système de référence accéléré doit introduire ce que les physiciens appellent des forces fictives pour rendre compte de l'accélération subie par lui-même et les objets qui l'entourent. Les découvreurs de PSR 1913+16, Russell Hulse et Joseph Taylor, ont reçu le Prix Nobel de physique en 1993. D'autres tentatives pour modifier la relativité générale ont été faites dans le cadre de la cosmologie. Dans un tel système d'étoiles, deux étoiles très compactes (étoiles à neutrons) tournent autour d'un centre commun. Les propriétés des géodésiques diffèrent de celles des lignes droites. Une structure remarquable est que la structure du cosmos à grande échelle apparaît pratiquement uniforme, quelle que soit la position de l'observateur ou la direction dans laquelle il observe. Une autre, reliée aux masses en rotation est appelée effet Lense-Thirring. Comme tout tombe ensemble dans la cabine, on n'observe aucun effet gravitationnel. générale et la relativité restreinte : La RR peut être déduite des équations de la RG, auquel cas la RG elle engloberait donc l'ensemble de la théorie de la relativité, ou la RG fournit elle simplement un support pour continuer, dans les cas où on le peut, à appliquer la RR. Sur ces trois tests, un seul — la précession du périhélie de Mercure — était connu avant la publication finale par Einstein de la relativité générale en 1916[30]. 1916 : Einstein formule la relativité générale (théorie classique) qui présente la gra-vitation comme une courbure de l'espace temps. Le principe de correspondance consiste alors à considérer que là où il y a une égalité du type . Si par exemple, à la même distance de la Terre, on lâche deux objets immobiles au même instant, ils vont tomber vers le centre de la Terre, et par suite vont se rapprocher l'un de l'autre (voir figure)[17]. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. Par exemple, sur un plan, des droites parallèles ne se rencontrent jamais, contrairement à ce qui se passe pour les géodésiques sur la Terre : deux méridiens sont parallèles entre eux au niveau de l'équateur, puisqu'ils le coupent tous deux à angle droit. De la même manière, pour une surface, l'absence ou la présence de courbure détermine si la surface est équivalente à un plan. Selon la relativité générale, la lumière ne se propage pas en ligne droite dans un champ gravitationnel : elle est. Si donc la masse, et donc l'énergie, est la source de la gravitation, il faut, pour rester cohérent avec la relativité, que ce soit le quadri-moment, moment inclus, qui soit à la source de la gravitation. Ces discordances ont été réglées par le passage à la relativité générale, mais il faut encore que les prédictions de cette dernière théorie soient confrontées avec l'expérience. En paraphrasant le doyen de la recherche américaine sur la relativité, John Wheeler, on peut résumer la théorie géométrique de la gravitation d'Einstein comme suit : l'espace-temps commande le mouvement des masses, et les masses commandent la courbure de l'espace-temps[15]. plus tard, einstein trouva quand même le moyen d'appliquer le premier principe, qu'il baptisa pour le coup "principe de relativité générale". Les équations d'Einstein sont le nœud central de la relativité générale. Un des aspects les plus importants de la relativité générale est qu'elle permet de construire un modèle global de l'univers. En particulier, pour dévier une particule test de sa trajectoire géodésique, il faut lui appliquer une force extérieure. Einstein a formulé cette relation en utilisant le tenseur de courbure de Riemann et la métrique pour définir une autre quantité géométrique G, maintenant appelé tenseur d'Einstein, qui décrit certains aspects de la courbure de l'espace-temps. Ce sont toutes ces données qui servent à régir le comportement de l'espace-temps en fonction de la matière. Elle s��crit : Nous �tudierons plus tard la m�trique de Schwarzschild, associ�e � une masse isol�e d�pourvue de moment cin�tique : Les m�triques ne sont pas n�cessairement diagonales. Ces deux corps ne tombent pas exactement dans la même direction, mais convergent sur un point unique dans l'espace : le centre (de gravité) de la Terre. Rédigé par Jacques Giespert Site Astronomia.fr Voir le document sur la relativité restreinte Nous avons rencontr� la m�trique de Minkowski dans les chapitres consacr�s � la relativit� restreinte. Les ondes gravitationnelles sont une conséquence directe de la théorie d'Einstein. Mais en 1974, cette perte d'énergie a été observée dans un pulsar binaire (PSR 1913+16). En fait, si l'on part de la théorie complète, les équations d'Einstein permettent de trouver comment ces lois du mouvement de la matière dépendent de la géométrie ; mais il est assez difficile d'en déduire le mouvement des particules test, cf. Par ailleurs la solution de Kerr décrit un trou noir en rotation. Cette op�ration fait intervenir le tenseur m�trique de l�espace consid�r�. La relativité générale prévoit que ces deux ensembles d'horloges battent à des rythmes légèrement différents, en raison de leurs vitesses (effet Doppler-Fizeau déjà prédit par la relativité restreinte), et de leurs positions différentes dans le champ gravitationnel terrestre. Mach a beaucoup influencé Einstein dans sa construction de la relativité générale… En d’autres termes, celui-ci se courberait en présence d’une planète, d’une étoile ou tout autre corps, et ce de façon proportionnelle à sa masse. Dans ce qui suit, nous allons utiliser la notion d�indices covariants et contravariants ainsi que la convention de sommation d�Einstein. Ceci permet de d�terminer la valeur des symboles de Christoffel � partir des composants de la m�trique : La formule g�n�rale de la d�riv�e covariante s��crit de la mani�re suivante : Notons que, par d�finition, la d�riv�e covariante du tenseur m�trique est nulle : Comme nous l�avons indiqu� plus haut, elle s�obtient en recherchant la courbe de longueur minimum entre deux points. Einstein a donc abandonné cette proposition. Ce que cela signifie va être détaillé dans les trois sections suivantes : Pour faire la carte des influences gravitationnelles d'un corps, il est utile de penser en termes de ce que les physiciens appellent particules test : ce sont des corps qui sont influencés comme tout par la gravitation, mais qui sont eux-mêmes si petits et légers que l'on peut négliger leurs propres effets gravitationnels. La longueur de la portion de courbe comprise entre les points et vaut : C�est en recherchant le minimum de que l�on obtient l��quation des g�od�siques (voir plus bas). Creusons un peu : T^{}_{\mu\nu} est le flux de la \mu-ième composante du quadrivecteur impulsion à travers une surface de normale x^\nu, d’où : Pour comprendre les idées de base de la théorie, il est instructif de suivre le déroulement de la pensée d'Einstein de 1907 à 1915, depuis sa simple expérience de pensée impliquant un observateur en chute libre, jusqu'à sa théorie complètement géométrique de la gravitation[1]. La relativité générale a de grands succès en donnant un cadre pour des modèles précis décrivant un ensemble impressionnant de phénomènes physiques. Mais la chaise lui applique une force externe sous les fesses, qui l'empêche de suivre cette tendance. Dans la formule qui précède, il convient de remarquer deux choses : L’indice du coefficient de la composante du vecteur est en haut lorsque celui du vecteur unitaire correspondant est en bas (et vice versa si on utilise des covecteurs). Le principe de relativité générale (ou de covari[...] Pour continuer la lecture, vous devez être abonné (12 € pour 1 année) ! Dans un système de référence en chute libre au voisinage, ils semblent flotter en apesanteur – mais pas exactement. Pour prendre une analogie, la géodésie[16] est l'art de mesurer les distances et les formes sur la Terre. Pour des étoiles ordinaires comme le Soleil, la perte de masse serait trop faible pour être détectable. terpr etation int eressan te. Il est �gal � 1 si les indices sont identiques et il est nul s�ils sont diff�rents. En explorant l'équivalence entre gravitation et accélération, y compris le rôle des effets de marée, Einstein a découvert plusieurs analogies avec la géométrie des surfaces. Albert Einstein formule en 1905 la théorie de la relativité restreinte qui est une prolongation du principe de la relativité de Galilée. Einstein s'est dit que d'une certaine manière, l'attraction par la gravitation est fondamentalement de la même nature que ces forces fictives[4]. De la relativité restreinte à la relativité générale, Recherche actuelle : la relativité générale et au-delà. Ces composants s��crivent . Il suffit de modifier en cons�quence les formules et les conclusions des calculs effectu�s... La notion de distance �l�mentaire d�coule directement de celle de m�trique : La longueur totale d�une courbe peut s�en d�duire facilement.

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